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Théorie des Ensembles
Ensembles équivalents

Deux ensembles M et N sont équivalents si à un élément de M correspond un élément et un seul de N, et réciproquement. Le caractère commun à tous les ensembles équivalents est leur nombre cardinal (leur cardinal), leur puissance, c’est-à-dire le nombre de leurs éléments.

Faramfàcce Mboole yi
Mboole weccikoo

Ñaari mboole M ak N weccikoo nañu, su fekkee ne doom boo jël ci M mën koo méngale ak benn doom kott ci N, te boo tukkee ci doomi N wuti yoy M, ba tey muy noonu. Màndarga mi mboole yu weccikoo bokk mooy seen limub dayo (seenub dayo), seen kàttan, maanaam seen doom yi, menn mu nekk ci ñoom.


ENSEMBLES INFINIS ; NOMBRES CARDINAUX TRANSFINIS

Soit : N = { 1, 2, 3, … } l’ensemble des nombres naturels et soit G { 2, 4, 6, … } l’ensemble des nombres positifs pairs. Si x désigne un élément de N et y l’élément de G qui lui correspond, la fonction qui réalise l’application de N sur G est y = 2 x ; cette fonction fait correspondre à tout nombre naturel d’une manière biunivoque un nombre positif pair. Les ensembles N et G sont équivalents, ont même puissance, même nombre cardinal. Il eût été impossible de tenter d’établir ce théorème en comptant les éléments respectifs des deux ensembles infinis, d’où l’intérêt de la notion d’ensemble équivalent qui permet d’établir l’égalité de deux infiniment grands.

MBOOLE YU GÀPPUWUL ; LIMI DAYO YU JÉGGIB GÀPP

Nanu tudde N = { 1, 2, 3, … } mbooleem limi « judduwaale » yi ; na G = { 2, 4, 6. … } nekk mbooleem « lim yi ëpp tus » te tóoluñu. Su X dee doomub N, y di doomub G bi méngook X, « aju » giy joxe dëppug N ci G mooy y = 2 x ; aju googu day méngale limub judduwaale bu nekk ak benn lim bu ëpp tus te tóolul, méngaleliin wu bennante. Ñaari mboole yi di N ak G weccikoo nañu seen kàttan, niki seen limub dayo tolloo. « Dëgguy matematig » googu, ku bëggoon a tukkee ci, wàññ doomi N ak G yi di mboole yu gàppoodiku doo ko mën a wone. Xalaatul mboole weccikoo yi, li tax mëneef a wone yemug ñaari lim yu gàppoodiku, kon am na njariñ.


ENSEMBLES FINIS ET INFINIS : définition de DEDEKIND

L’équivalence des ensembles N et G fait apparaître une propriété surprenante des ensembles infinis. G est un sous-ensemble véritable de N et pourtant G est équivalent à N, ce que nous traduisons par les relations :
G Ì N   ;   G ~ N


MBOOLE YU GÀPPU, AK YU GÀPPOODIKU : DÉEGIINU DEDEKIND

Weccikoo mbooley N ak G feeñal na ne mboole yu gàppoodiku yi am nañu moomeel gu doy waar ndax G mboole ëmbu dëgg ci N la te terewul mu weccikoo ak N, ba tax mëneef a bind :
G Ì N    ;    G ~ N

alors que pour les ensembles finis la relation d’inclusion A Ì B est incompatible avec la relation d’équivalence A ~ B d’où les définitions de DEDEKIND : « S’il n’existe aucun sous-ensemble véritable de M qui soit équivalent à M, M est un ensemble fini. S’il existe un sous-ensemble véritable de M équivalent à M, M est un ensemble infini. »
Te su doon mboole yu gàppu joteb ëmbe bii, AÌ B, du mën a nekkandoo dëgg ak joteb weccikoo bii A~B : lii tax Dedekind joxe déegiin yii : « Bu amul menn mboole mu ndaw mu ëmbu ci M mom dëgg mu weccikoo ak M, M mboole mu gàppu la. Su amee am mboole mu ndaw mu ëmbu ci M mom dëgg mu weccikoo ak M, M mboole mu gàppoodiku la ».


Théorème.

L’ensemble des nombres naturels :

N = { 1, 2, 3, … }

et l’ensemble des nombres positifs impairs :

U = { 1, 3, 5, … }

sont équivalents en vertu de l’application :

u = 2 n _ 1

qui, à tout élément n de N, fait correspondre un élément u de U.

Dëggug matematig

Mbooleem limi judduwaale yi :

N = Ñ { 1, 2, 3, … }

ak mbooleem lim yi ëpp tus te tóol :

U = { 1, 3, 5, … }

weccikoo nañu ndax dëppaleyiin wii :
U = 2 n _ 1

biral na ne doomub N bu ne di (n) méngaloo na ak doomub U di (u).


Des ensembles finis équivalents sont caractérisés par le même nombre cardinal. Ces nombres cardinaux (finis) sont les nombres naturels qu’on discerne en comptant les éléments de l’ensemble. Des ensembles infinis équivalents (de même puissance) sont caractérisés également par des nombres cardinaux égaux appelés transfinis. Ces nombres cardinaux transfinis constituent une extension des nombres naturels.

Mboole yu gàppu te weccikoo màndargawoo nañu seen limub dayo yem di benn : limi dayo yu gàppu yooyu ñooy limi judduwaale yees di nemmiku bees di waññ doomi mboole yi. Mboole yu gàppoodiku te weccikoo (maanaam yem kàttan) màndargawoo nañu ñoom it limi dayo yu yem, yu nu tudde lim yu gàppoodiku ; limi dayo yu gàppoodiku yooyu yaatal nañu limi  judduwaale yi.


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